Distanza tra due punti

Come si calcola la distanza tra due punti di un sistema di riferimento cartesiano date le loro coordinate?

Mi rispondereste ovviamente √(A_x - B_x)² + (A_y - B_y)² 

Però come siamo arrivati a questa formula? Sicuramente vi ricordate la dimostrazione, ma potrebbe esserci chi non se la ricorda! Quindi, perché non rinfrescarci la memoria su come siamo arrivati fin qui?

Dopotutto sapere una formula capendone il ragionamento è meglio, perché, se un giorno la si dimenticasse, si potrebbe ricavarla di nuovo applicando il relativo ragionamento.
E allora vediamo qual è questo ragionamento:

Punti allineati rispetto all'ascissa o all'ordinata:

Prima di tutto dobbiamo capire come si ottiene la distanza tra due punti allineati, che è il caso più semplice.

Dati:
A(2, 2)
B(5, 2)

Ragionamento:
Se noi facciamo caso alle coordinate dei punti vediamo già che esse stesse indicano la distanza dei punti stessi dall'origine degli assi.
In questo caso quindi basta fare la differenza tra i valori A_x e B_x e renderla valore assoluto, dato che le distanze negative non esistono, per ottenere la distanza tra i punti.
AB = | A_x − B_x |

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Dati:
A(2, 1)
B(2, 4)

Ragionamento:
Stesso procedimento di prima, solo che in questo caso bisogna fare la differenza dei valori A_y e B_y.
AB = | A_y − B_y |

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Distanza tra due punti non aventi stessa ascissa o ordinata

Bene. Capita questa premessa siamo in grado di entrare nella parte generale che calcola la distanza tra due punti generici. Qui il ragionamento è un po' più complesso.

Dati:
A(1, 3)
B(5, 3)

Ragionamento:
Come possiamo notare anche nel disegno, una retta generica può essere vista come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che come cateti un segmento parallelo ad x e uno parallelo ad y.
Quindi, per merito dei casi precedenti, saremmo in grado di calcolare l'ipotenusa, utilizzando il teorema di Pitagora, se conoscessimo le lunghezze dei cateti.

I cateti sono AC e AB, quindi per ottenere la distanza AB, tramite Pitagora: √AC² + BC² 

Bene. Sappiamo le coordinate di A e B ma non quelle di C. Ma se guardiamo nel grafico possiamo capire che, indifferentemente dalle posizioni di A e B, l'ascissa di C sarà uguale a quella di B, quindi C_x = B_x, e l'ordinata di C sarà uguale a quella di A, quindi C_y = A_y.

Applicando i metodi precedenti siamo quindi in grado di determinare le lunghezze di AC e BC, e quindi la formula finale diviene
√(A_x - B_x)² + (A_y - B_y)² 
ovvero la formula che sappiamo. Notiamo inoltre che in questo caso il valore assoluto risulta superfluo dal momento che un elevamento a potenza pari rende sempre di segno positivo un dato valore.

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Se avete avuto il coraggio di leggere fin qui, beh... Complimenti! Allora non vi ricordavate proprio il ragionamento vero?

Se avete dubbi o volete chiarimenti non esitate a commentare questo post.